Группа
Гру́ппа. Заимствование из немецкого, где Gruppe — «группа» через французский восходит к итальянскому gruppa — «узел, группа».
Происхождение слова группа в этимологическом онлайн-словаре Крылова Г. А.
Группа. Итальянское — gruppo. Французское — groupe. В русском языке слово «группа» широко употребляется с начала XIX в. (в словаре у Яновского — с 1803 г.). Слово представляет собой заимствование из французского (groupe), где известно уже в XVIII в. в качестве заимствования из итальянского. Первоисточник — итальянское слово gruppo, которое означало «узел», «комок», «клубок». Производные от слова «группа» входили в русский язык постепенно: «группировать» — с 1834 г., «группировка» — с 1847 г., «групповой», «группировщина» — с 1935. Родственными являются: Болгарское — група. Польское — grupa. Производные: групповой, группировать, группировка.
Происхождение слова группа в этимологическом онлайн-словаре Семёнова А. В.
Гру́ппа. В староитальянском языке слово «gruppo» значило «узел». От него произведено было французское «groupe» с тем же значением. Немцы, позаимствовав слово, придали ему иное значение — «несколько предметов, составляющих одно целое, единство».
Вот это значение пришло и к нам.
Происхождение слова группа в этимологическом онлайн-словаре Успенского Л. В.
гру́ппа, заимств. из нем. Gruppe, которое в свою очередь заимств. из франц. groupe, ит. gruppo «ком», связанных с нем. Kropf «зоб»; см. Гамильшег, EW 494; Клюге-Гётце 221.
Происхождение слова группа в этимологическом онлайн-словаре Фасмера М.
Гру́ппа. Заимств. в XVIII в. из нем. яз., где Gruppe < франц. groupe, восходящего к итал. gruppo (с первоначальным значением «соединение»).
Происхождение слова группа в этимологическом онлайн-словаре Шанского Н. М.
У этого термина существуют и другие значения, см. Группа.
Один из примеров группы — множество целых чисел, снабжённое операцией сложения: сумма любых двух целых чисел также даёт целое число, роль нейтрального элемента играет ноль, а число с противоположным знаком является обратным элементом.
Другие примеры — множество вещественных чисел с операцией сложения, множество вращений плоскости вокруг начала координат.
Благодаря определению группы через систему аксиом, не привязанной к специфике её элементов, создан универсальный аппарат для изучения широкого класса математических объектов самого разнообразного происхождения с точки зрения общих свойств их структуры.
Вездесущность групп в математике и за её пределами делает их важнейшей конструкцией в современной математике и её приложениях.
Множество с заданной на нём бинарной операцией : называется группой , если выполнены следующие аксиомы:
Последние две аксиомы можно заменить одной аксиомой существования операции обратной :
Группа и связанные с ней простейшие алгебраические структуры
Обычно групповую операцию называют (абстрактным) умножением; тогда применяется мультипликативная запись:
Если групповая операция именуется умножением, то саму такую группу при этом называют мультипликативной и при полном способе записи (когда хотят явно указать групповую операцию) обозначают так: .
В коммутативной группе определяющая операция часто рассматривается как (абстрактное) сложение и записывается аддитивно:
Применение теории групп не ограничивается только математикой, её широко используют в таких науках как физика, химия и информатика.
Часы показывают время по модулю 12. .
6 комплексных корней из единицы образуют циклическую группу
Способы задания группы
Группу можно задать:
Группы с дополнительной структурой
Кольцо — множество , на котором определены бинарные операции коммутативного сложения и (не обязательно коммутативного) умножения, причём относительно сложения К образует группу, а умножение связано со сложением дистрибутивным законом.
Кольцо называют коммутативным и ассоциативным, если заданная на нём операция умножения коммутативна и соответственно ассоциативна. Элемент кольца называется единицей, если выполнено условие: , где — любой элемент кольца.
Некоторые топологические пространства могут быть одновременно снабжены и групповой структурой. В этом случае такое пространство может оказаться топологической группой.
Все конкретные группы, приведённые в предыдущем подразделе в качестве примеров топологических групп, одновременно являются и группами Ли.
- Белоногов В. А. Задачник по теории групп. М.: Наука, 2000.
- Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. М.: Наука, 1982.
- Кострикин А. И. Введение в алгебру. М.: Наука, 1977.
- Курош А. Г. Теория групп. (3-е изд.). М.: Наука, 1967.
- Холл М. Теория групп. М.: Издательство иностранной литературы, 1962.
- Gorenstein D. Finite groups. N.Y.: Harper and Row, 1968.
- Huppert B. Endliche Gruppen. I.B.: Springer, 1967.
Подгруппа Нормальная подгруппа Факторгруппа (полу-)Прямое произведение
Ортогональная группа O(n)
Специальная унитарная группа SU(n)
2 4 6 7 8
— раздел абстрактной алгебры, изучающий алгебраические структуры, называемые , и их свойства.
Список определений, относящихся к теории групп, вы можете найти в статье Словарь терминов теории групп.
История
У теории групп три исторических корня: теория алгебраических уравнений, теория чисел и геометрия. Математики, стоящие у истоков теории групп, — это Леонард Эйлер, Карл Фридрих Гаусс, Жозеф Луи Лагранж, Нильс Хенрик Абель и Эварист Галуа. Галуа был первым математиком, связавшим теорию групп с другой ветвью абстрактной алгебры — теорией полей, разработав теорию, ныне называемую теорией Галуа.
Одной из первых задач, приведших к возникновению теории групп, была задача получения уравнения степени , которое имело бы корнями корней данного уравнения степени (). Эту задачу в простых случаях рассмотрел Худде (1659 г.). В 1740 г. Сондерсон заметил, что нахождение квадратичных множителей биквадратных выражений сводится к решению уравнения 6 степени, а Ле Сёр (1748 г.) и Вейринг (с 1762 по 1782 гг.) развили эту идею.
Общую основу для теории уравнений, строящуюся на теории перестановок, в 1770—1771 гг. нашёл Лагранж, и на этой почве в дальнейшем выросла теория подстановок. Он обнаружил, что корни всех резольвент, с которыми он сталкивался, являются рациональными функциями от корней соответствующих уравнений.
Чтобы изучить свойства этих функций, он разработал «исчисление сочетаний» (Calcul des Combinaisons). Современная ему работа Вандермонда (1770 г.) также предвосхищала развитие теории групп.
Паоло Руффини в 1799 г. предложил доказательство неразрешимости уравнений пятой и высших степеней в радикалах. Для доказательства он использовал понятия теории групп, хоть и называл их другими именами. Руффини также опубликовал письмо, написанное ему Аббати, лейтмотивом которого была теория групп.
Галуа обнаружил, что если у алгебраического уравнения несколько корней, то всегда существует группа перестановок этих корней такая, что 1) всякая функция, инвариантная относительно подстановок группы, рациональна и, наоборот, 2) всякая рациональная функция от корней инвариантна относительно перестановок группы. Свои первые труды по теории групп он опубликовал в 1829 г., в возрасте 18 лет, но они остались практически незамеченными, пока в 1846 г. не было издано собрание его сочинений.
г. Софус Ли положил начало изучению как групп преобразований того, что мы сейчас называем группами Ли и их дискретными подгруппами; за его трудами последовали работы Киллинга, Штуди, Шура, Маурера и Эли Картана. Теория дискретных групп была разработана Клейном, Ли, Пуанкаре и Пикаром в связи с изучением модулярных форм и других объектов.
XX века (в основном, между 1955 и 1983 гг.) была проведена огромная работа по классификации всех конечных простых групп, включающая десятки тысяч страниц статей.
Ощутимый вклад в теорию групп внесли и многие другие математики, такие как Артин, Эмми Нётер, Людвиг Силов и другие.
Краткое описание теории
Понятие группы возникло в результате формального описания симметрии и эквивалентности геометрических объектов. В эрлангенской программе Феликса Клейна изучение геометрии было связано с изучением соответствующих групп преобразований. Например, если заданы фигуры на плоскости, то группой движений выясняется их равенство.
Замкнутость группы относительно операции умножения. Для любых двух элементов группы существует третий, который является их Граф свободной группы порядка 2
. Порядок выполнения умножения несущественен:
Существование единичного элемента. В группе существует некоторый элемент , произведение которого с любым элементом группы даёт тот же самый элемент :
Существование обратного элемента. Для любого элемента группы существует такой элемент , что их произведение даёт единичный элемент :
Аксиомы группы никак не регламентируют зависимость операции умножения от порядка сомножителей. Поэтому, вообще говоря, изменение порядка сомножителей влияет на произведение. Группы, для которых произведение не зависит от порядка сомножителей, называют или группами. Для абелевой группы
Абелевы группы довольно редко встречаются в физических приложениях. Чаще всего группы, имеющие физический смысл, являются :
Конечные группы небольшого размера удобно описывать при помощи т. н. «таблицы умножения». В этой таблице каждая строка и каждый столбец соответствует одному элементу группы, а в ячейку на пересечении строки и столбца помещается результат операции умножения для соответствующих элементов.
Ниже приведён пример таблицы умножения (таблицы Кэли) для группы состоящей из четырёх элементов: (1, −1, i, −i) в которой операцией является обычное арифметическое умножение:
Единичным элементом здесь является 1, обратными элементами для 1 и −1 являются они сами, а элементы i и −i являются обратными друг для друга.
Если группа имеет бесконечное число элементов, то она называется бесконечной группой.
Когда элементы группы непрерывно зависят от каких-либо параметров, то группа называется непрерывной, или группой Ли. Также говорят, что группа Ли — это группа, множество элементов которой образует гладкое многообразие. С помощью групп Ли как групп симметрий находятся решения дифференциальных уравнений.
Группы повсеместно используются в математике и естественных науках, часто для обнаружения внутренней симметрии объектов (группы автоморфизмов). Внутренняя симметрия обычно связана с инвариантными свойствами; множество преобразований, которые сохраняют это свойство, вместе с операцией композиции, образуют группу, называемую группой симметрии.
теории Галуа, которая и дала начало понятию группы, группы используются для описания симметрии уравнений, корнями которых являются корни некоторого полиномиального уравнения. Из-за важной роли, которую они играют в этой теории, получили своё название разрешимые группы.
Группы Ли применяются при изучении дифференциальных уравнений и многообразий; они сочетают в себе теорию групп и математический анализ. Область анализа, связанная с этими группами, называется гармоническим анализом.
В комбинаторике понятия группы подстановок и действия группы используются для упрощения подсчёта числа элементов в множестве; в частности, часто используется лемма Бёрнсайда.
Понимание теории групп также очень важно для физики и других естественных наук. В химии группы используются для классификации кристаллических решёток и симметрий молекул. В физике группы используются для описания симметрий, которым подчиняются физические законы. Особенно важны в физике представления групп, в частности, групп Ли, так как они часто указывают путь к «возможным» физическим теориям.
называется , если она одним элементом , то есть все её элементы являются степенями (или, если использовать аддитивную терминологию, представимы в виде , где — целое число). Математическое обозначение:
действует на множестве
, если задан гомоморфизм
всех перестановок множества
. Для краткости
часто записывают как
Примеры групп
Простейшей группой является группа с обычной арифметической операцией умножения, которая состоит из элемента 1. Элемент 1 является единичным элементом группы и обратным самому себе:
• Следующий простой пример — группа с обычной арифметической операцией умножения, которая состоит из элементов (1, -1). Элемент 1 является единичным элементом группы, оба элемента группы обратны самим себе:
• Группой относительно обычной арифметической операции умножения является множество, состоящее из четырёх элементов (1, -1, i, -i). Единичным элементом здесь является 1, обратными элементами для 1 и -1 являются они сами, а элементы i и -i являются обратными друг для друга.
Группой является два поворота пространства на 0° и 180° вокруг одной оси, если произведением двух
поворотов считать их последовательное выполнение. Эта группа обычно обозначается . Она изоморфна (то есть тождественна) приведённой выше группе с элементами 1 и -1. Поворот на угол 0°, поскольку он
является тождественным, обозначен в таблице буквой E.
• Группу вместе с тождественным преобразованием E образует операция инверсии I, которая меняет направление каждого вектора на обратное. Групповой операцией является последовательное выполнение двух инверсий. Эта группа обычно обозначается . Она изоморфна приведённой выше группе C.
• По аналогии с группой Cможно построить группу , состоящую из поворотов плоскости на углы 0°, 120° и 240°. Можно сказать, что группа является группой поворотов, переводящих правильный треугольник сам в себя.
Элементы группы C
Если к группе Cприбавить отражения треугольника относительно трёх его осей симметрии (R, R, R), то мы получим полную группу операций, которая переводит треугольник сам в себя. Эта группа называется
Элементы группы D
Соседние файлы в папке Дискретка 18-03-2014
Социа́льная гру́ппа — это объединение людей, имеющих общий значимый признак, на котором основано их участие в некоторой деятельности, связанной системой отношений, которые регулируются формальными или неформальными социальными институтами.
Содержание понятия «социальная группа» включает в себя ряд моментов, которые выступают критериями отличия социальных групп от практических, номинальных, «групп на бумаге» и групп вообще. Такими свойствами являются:
Знаки, по которым определяется членство в группе, и которые лежат в основе идентификации, могут совпадать, а могут и не совпадать друг с другом. Например, члены организации отличают друг друга по удостоверению, а не-члены идентифицируют их по форме одежды.
Больше по последующему количеству людей идет численность общества (это надындивидуальное, надгрупповое и надынституциональное объединение людей) или так же называемое социумом и т.д.
По характеру взаимодействия:
По факту существования:
По способу организации и регулирования взаимодействия:
Структура социальных групп
Структура группы — способ взаимосвязи, взаиморасположения её составных частей, элементов группы (осуществляется через групповые интересы, групповые нормы и ценности), образующих устойчивую социальную конструкцию, или конфигурацию социальных отношений.
Действующая большая группа имеет свою внутреннюю структуру: «ядро» (а в некоторых случаях — ядра) и «периферию» с постепенным ослаблением по мере удаления от ядра сущностных свойств, по которым идентифицируют себя индивиды и номинируется данная группа, то есть по которым она отделяется от других групп, выделяемых по определённому критерию.
Конкретные индивиды могут и обладать всеми сущностными чертами субъектов данной общности, они постоянно переходят в своем статусном комплексе (репертуаре ролей) с одной позиции на другую. Ядро же любой группы относительно устойчиво, оно состоит из носителей этих сущностных черт — профессионалов символического представительства.
Другими словами, ядро группы — это совокупность типических индивидов, наиболее постоянно сочетающих присущие ей характер деятельности, структуру потребностей, нормы, установки и мотивации, отождествляемые людьми с данной социальной группой. То есть занимающие позицию агенты должны сложиться в качестве социальной организации, социальной общности, или социального корпуса, обладающего идентичностью (признанными представлениями о себе) и мобилизованного вокруг общего интереса.
Поэтому ядро — концентрированный выразитель всех социальных свойств группы, определяющих её качественное отличие от всех иных. Нет такого ядра — нет и самой группы. В то же время состав индивидов, входящих в «хвост» группы, непрерывно меняется вследствие того, что каждый индивид занимает множество социальных позиций и может переходить с одной позиции на другую ситуативно, из-за демографического движения (возраст, смерть, болезнь и т. п.) или как результат социальной мобильности.
Реальная группа имеет не только свою структуру или конструкцию, но и свою композицию (а также декомпозицию).
Композиция (лат. compositio — составление) — организация социального пространства и его восприятия (социальной перцепции). Композиция группы — это сочетание её элементов, образующих гармоническое единство, которое обеспечивает целостность образа её восприятия (социального гештальта) как социальной группы. Композицию группы обычно определяют через индикаторы социального статуса.
Декомпозиция — противоположная операция или процесс разделения композиции на элементы, части, показатели. Декомпозиция социальной группы осуществляется путём проекции на различные социальные поля и позиции.
Нередко композицию (декомпозицию) группы отождествляют с набором демографических и профессиональных её параметров, что не совсем верно. Здесь важны не сами по себе параметры, а в той степени, в какой они характеризуют статусно-ролевую позицию группы и выступают в качестве социальных фильтров, позволяющих ей осуществлять социальное дистанцирование, чтобы не слиться, не быть «размытой» или поглощенной другими позициями.
Что касается членства в группе конкретного индивида как элемента композиции, то действительно он сталкивается с окружающим миром, который окружает его и позиционирует его как члена группы, то есть его индивидуальность в этой ситуации становится «несущественной», в нём как в личности, как члене группы, видят прежде всего целую группу.
Функции социальных групп
Существуют различные подходы к классификации функций социальных групп. Американский социолог Н. Смелзер выделяет следующие функции групп:
- См. Петровский В. А. Личность в психологии: парадигма субъектности. — Ростов-на-Дону: «Феникс», 1996
- Lash, S. and J. Urry Economies of Signs and Space. London: Sage Publications. 1994.
на русском языке
- Андреева Г. М., Богомолова Н. Н., Петровская Л. А. Зарубежная социальная психология ХХ столетия. М., 2002;
- Аронсон Э. Общественное животное. М., 1998;
- Кричевский Р. Л., Дубовская Е. М. Социальная психология малой группы. М., 2001;
- Московичи С. Машина, творящая богов. М., 1998;
- Психология и культура / Ред. Д. Мацумото. С Пб., 2003;
- Стефаненко Т. Г. Этнопсихология. М., 1999;
на других языках
- Classic contributions to social psychology / Ed. T. P. Hollander, P. G. Hunt. N. Y.; L., 1972;
- Homans G. The human group. New Brunswick, 1992;
История термина «группа»
В речи современного человека слово «группа» является привычным и обыденным, однако, несмотря на то что люди с древних времен образуют различные сообщества, слово «группа» возникло сравнительно недавно. На наш взгляд, история возникновения этого термина многое проясняет в специфике социологического знания. Во французе ком, немецком, английском, испанском и других языках это слово возникло не ранее второй половины XVII в. В это время французские художники завезли из Италии технический термин groppo, или gruppo, означавший несколько симметрично скомпонованных фигур, составляющих сюжет живописного, графического или скульптурного произведения. Чтобы называться группой, совокупность этих фигур должна была производить целостное художественное впечатление.
Затем это слово проникает в литературу, еще сохраняя свой технический оттенок. И только с середины XVIII в. во Франции оно начинает употребляться для обозначения круга или собрания реальных людей. В некоторых словарях понятие «группа» дается как понятие современной математики, однако в математику, где разрабатывается собственная теория групп, этот термин был введен Э. Галуа только в 1830 г.
Согласно исследованиям французских авторов Д. Анзье и Ж. Мартена древние языки не располагали никаким понятием для описания малочисленной ассоциации людей, преследующих совместные цели.
Русским языком слово «группа» заимствовано из немецкого от слова gruppe, пришедшего в свою очередь из французского и итальянского. В России первое упоминание слова «группа» в толковых словарях русского языка датируется лишь 1847 г. В «Словаре церковно-славянского и русского языка» это слово приводится в трех значениях: I) группа — это совокупность, система однородных предметов, имеющих взаимную связь; 2) это две или многие фигуры, поставленные вместе; 3) несколько островов, лежащих вместе. Спустя почти пятьдесят лет, в изданном в 1895 г. « Словаре русского языка» это определение приводится почти полностью: «собрание, совокупность, иногда система однородных предметов». Сферы применения термина, судя по приведенным в словаре примерам, разнообразны: группа фигур, скульптур, деревьев, островов, гор и т. д. Но эти сферы представлены исключительно предметной совокупностью. Назвать группой «собрание» живых, а не изваянных людей еще никто не может.
Первым официальным свидетельством обозначения словом «группа» совокупности реально существующих людей может, по-видимому, служить «Толковый словарь живого великорусского языка» В. И. Даля (1880 г.). По В. И. Далю, словом «группа» могут быть названы: «чета, купа, кучка; связь, сноп, цепь; грезд, грезно; кружок, толпа».
Таким образом, живой разговорный язык второй половины XIX в. позволял назвать группой некоторые скопления людей. Но если в первой половине XIX в. слово «группа» оставалось достаточно редким специальным термином, практически не имеющим отношения к реальным социальным группам, то во второй половине века положение существенно меняется. Слово «группа» все чаще появляется в литературной речи, на страницах философских и политических произведений и используется в том числе как синоним реальной социальной общности. Однако объем понятия «социальная группа» оставался крайне неопределенным и аморфным.
Есть и другой момент, оказавшийся вплотную связанным с осмыслением понятия группы. В своей предыстории значение термина «группа» восходит к двум корням: «узел» от итальянского groppo и германского grop и «круг» от германского к1ирре, kruppe и французского groupe. Оба эти слова имели в основе идею круга. Равенство образующих круг группы лиц нашло воплощение в ряде культовых обрядов. Общепринятое сегодня выражение «беседа за круглым столом», возможно, является отголоском тех же традиций, лишенных религиозного содержания.
Несмотря на то что слово «группа» могло быть адресовано некоторой совокупности предметов и объектов уже с середины XVIII в. в Европе и середины XIX в. в России, «открытие» малой группы как особой реальности человеческих отношений произошло лишь в начале XX в.
Социология управления
Группа в социальной организации.
План
История термина «группа».
Группа как основа социальной организации.
Вопрос 1. И СТОРИЯ ТЕРМИНА «ГРУППА»
В речи современного человека слово «» является привычным и обыденным, однако, несмотря на то что
обозначения круга или собрания людей.
Понятие о слове «группа» в России.
Русским языком слово «»
немецкого от слова пришедшего в свою очередь из французского и итальянского. В России первое упоминание слова «группа» в толковых словарях русского языка датируется лишь 1847 г.
«Словаре церковно-славянского русского языка»
это приводится в трех значениях
Спустя почти пятьдесят лет, в издано и в 1895 г. « Словаре русского языка» это определение
Первым официальным свидетельством обозначения словом «» совокупности реально существующих людей может, по- видимому служить «Толковый словарь живого великорусского языка» В. И. Даля (1880 г.). По В. ИДалю, словом «группа» могут быть названы: «чета, купа, кучка; связь, сноп, цепь; грезд, грезно; кружок, толпа».
Несмотря на то что слово «группа» могло быть адресовано некоторой совокупности предметов и объектов уже с середины XVIII в. в Европе и середины XIX вв России, «открытие» малой
Вопрос 2. Г РУППА КАК ОСНОВА
Человек нуждается в общении с себе подобными. Уже на самых ранних этапах развития человеческого общества люди собирались в группы, которые способствовали их выживанию и развитию. Во все времена самым жестоким наказанием для людей
изгнание человека из
, к которому он принадлежал. Люди взаимодействуют друг с другом в группах. Однако не всегда это взаимодействие протекает гладко, не всегда группа достигает поставленных перед ней или ей самой целей.
Изучение проблемы работы групп и методов работы с группами становится все более актуальным как в личностном, так и в социальном аспекте, что обусловлено большим практическим интересом, так как все больше принимается групповых решений,
Особую важность эта проблема приобретает в настоящее время — в период бурных перемен в нашей стране. Многие люди, лишившись привычных устоев, норм и ценностей, дезориентированы, им приходится менять работу, переучиваться, искать новые способы взаимодействия с другими людьми. Многие, если не сказать все, организации также находятся в процессе перемен: меняется форма собственности, меняется налаженный
ассортимент производства, меняются объемы и технологии производства, происходит массовая реструктуризация
предприятий, сокращение и увольнение людей, формирование новых подразделений и структурных единиц. В этих условиях
руководителями встает вопрос поиска нужных и «правильных» людей, быстрая их адаптация, а также повышение производительности и эффективности работы организации в целом
Понимание того, как создаются и развиваются группы, как они работают, в чем их особенность, как ими управлять, как их применять в процессе организационного развития, становится важным для руководителей, политиков, психологов и социологов, консультантов по управлению и
Понятие группы является одним из самых важных в социологии. Организация как группа людей, деятельность которых сознательно координируется для достижения общей цели или целей, служит наиболее эффективным средством в деятельности социальных групп. Сущность ее эффекта состоит в том, что люди, действуя совместно, могут сделать значительно больше, чем действуя по одиночке.
Современное понимание термина организация (фр. — упорядочиваю, устраиваю, сообщаю стройный вид) проявляется в следующих основных направлениях научной мысли: внутренняя упорядоченность, согласованность взаимодействия более или менее дифференцированных частей единого целого – организация как состояние; совокупность индивидуальностей, совместно реализующих некоторую программу или заданную цель и действующих на основании определенных правил или процедур – организация как система; совокупность процессов или действий, ведущих к образованию и совершенствованию взаимосвязей между частями единого целого – организация как процесс;
целенаправленное воздействие как метод изменения сложившихся состояний систем или процессов
функционирования – организация как метод.
Соседние файлы в папке Средства наглядности СУ
